Vertical Sliced Wasserstein Distances for Meta-Measures

arXiv:2610.20743v1 公告类型：新

摘要：许多现代学习问题需要比较概率分布，而这些分布中的单个观测本身又是概率测度，这自然在 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\Omega))$ 中产生了元测度（meta-measures）。然而，该空间上的最优传输距离的求值成本可能高得难以承受。我们引入垂直切片 Wasserstein（$\mathrm{VSW}$）距离，这是一种定义在 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\Omega))$ 上的可扩展度量。$\mathrm{VSW}$ 不沿 $\mathcal{P}(\Omega)$ 的传输几何进行切片，而是使用连续测试函数对每个内层测度进行投影，并用一维 Wasserstein 距离比较所得的一维分布。我们证明 $\mathrm{VSW}$ 是 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\Omega))$ 上的有效度量，可度量弱收敛，并具有与维度无关的统计收敛保证。在实验上，与现有的元测度距离相比，$\mathrm{VSW}$ 具有高精度和高效率。我们进一步为经验 $\mathrm{VSW}_2^2$ 目标推导出一个实用的粒子梯度，并演示了其在基于梯度的元测度传输中的用途。$\mathrm{VSW}$ 为比较和优化分布的分布提供了一种简单且可扩展的替代方案。